barycentric coordinate

bary centric coordinate가

다음과 같이 u, v를 두 축으로 가지는 평면 좌표계를 구성하는데

v
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+---------------- u

u + v <= 1이기 때문에 결국 삼각형의 영역만을 나타낼 수 있는 좌표계가 됩니다.

삼각형을 이루는 정점 세 개를 v1, v2, v3라고 하고 v1이 원점이고
v2-v1이 u축을 이루고, v3-v1이 v축을 이루면 다음 그림과 같아지고

v3
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+----------------- v2
v1

coordinate frame으로 나타내면 u*(v2-v1) + v*(v3-v1) + v1이 됩니다.

풀어서 정리를 하면 v*v2 + v*v3 + (1 - u - v) * v1으로 bary centric coordinate의 표현이

됩니다(1 - u - v = w라고 하자).

이제 u, v, w가 삼각형의 어떤 영역인지를 알아봅시다.

임의의 점 (u', v')를 위의 좌표계 상에 나타내보면, 다음과 같이 됩니다.

v3
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|           +(u', v')
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+------------------ v2
v1

u,v 축이 단위길이이므로, v1, v2, (u',v')로 이루어지는 삼각형은 1/2 * v'의 크기를 가지고 v1, v3, (u',v')로 이루어지는 삼각형은 1/2 * u'의 크기를 가지고 나머지 영역인 w는 1/2 - 1/2(v' + u')의 크기를 가지게 됩니다.

면적비를 구해보면 v', u', (1-u'-v')가 되므로 v1, v3, (u',v')가 이루는 영역이 u좌표가 되고, v1, v2, (u',v')가 이루는 영역이 v좌표가 되고 나머지 영역이 w가 됩니다.

설명이 잘되었는지 모르겠네요.^^