inner(scalar, dot) product 증명

첫번째 증명

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고등학교 수학 시간에 우리는 극좌표계(polar coordinate)를 배운 적이 있는데 극좌표계는 좌표를 길이 r, 그리고 사이각 theta로 표현한다. 그리고 우리가 잘 알고 있는 직교 좌표계로의 변환은 다음과 같다.

 

polar coordinate (r, theta) -> Cartesian coordinate (r*cos(theta),r*sin(theta))

 

그러면 이제부터 이 사실을 바탕으로 a dot b = |a||b|cos(theta) 임을 증명해보자.

 

두 벡터 a, b를 각각 극좌표계로 표현했을 때,

 

a = (r1, theta1), b = (r2, theta2)라고 하고 theta2 > theta1이라고 하면

 

두 벡터 사이의 사이각은 theta = theta2 - theta1인 것을 알 수 있다.

 

그러면 두 벡터 a, b의 내적을 구하기 위해서 먼저 극좌표계를 직교 좌표계로 표현해 보자.

그러면

a = (r1 * cos(theta1), r1 * sin(theta1)),

 

b = (r2 * cos(theta2), r2 * sin(theta2))가 되고

 

이제 a dot b = r1 * r2 * cos(theta1) * cos(theta2) + r1 * r2 * sin(theta1) * sin(theta2)가 됨을 알 수 있다.

 

여기서 공통인자인 r1 * r2를 뽑아내면 식은

 

r1 * r2 * (cos(theta1)*cos(theta2) + sin(theta1) * sin(theta2))가 되는데

 

cos 덧셈 법칙에 의해서

 

cos(theta1)*cos(theta2) + sin(theta1) * sin(theta2) = cos(theta2-theta1)이 된다.

 

결국 a dot b = r1 * r2 * cos(theta2-theta1)이 되는데

 

위에서 theta2-theta1은 theta라고 했으닌깐

 

a dot b = r1 * r2 * cos(theta)가 되고

 

r1은 벡터 a의 길이이고 r2는 벡터 b의 길이이므로

 

최종적으로 a dot b = |a||b|cos(theta)가 됨을 알 수 있다.

두번째 증명

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주의 볼드체 소문자가 벡터고 그냥 소문자가 선분이라는 것을 기억하자.

 

지난 번 글에서는 극 좌표계를 이용해서 a dot b = |a||b|cos(theta)임을 증명했는데 이 번에는 코사인 법칙을 사용해서 증명을 해보겠다.

 

삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c라고 하고 변 a, b의 사이각이 theta라고 할 때 코사인 법칙에 의해서 다음의 공식이 성립한다.

 

c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(theta)

 

여기서 theta가 90도 이면 피타고라스 정리가 된다.

 

위의 삼각형의 세 점을 A, B, C라고 하고 A - B = a 라고 하고 C - B = vector b라고 하자.

 

그러면 벡터 c = a - b가 되므로 벡터 c의 길이는 선분 c와 같다.

 

|c| = root((a-b) dot (a-b))이므로

 

|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2*(a dot b)가 된다.

 

그러면 c^2 = |c|^2이 같으므로

 

|a|^2 + |b|^2 - 2*(a dot b) = a^2 + b^2 - 2abcos(theta)이고

 

|a| = a, |b| = b임을 알고 있으므로,

 

결국 a dot b = |a||b|cos(theta)임이 증명된다.

세번째 증명

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2차원 데카르트 좌표계에서 벡터 a'이 x축 위에 있다고 하자. 그러면 a'는 아마 (ax,0) 이런 좌표를 가지고 있을 것이다(물론 시점은 원점이다). 그리고 x축과 각 theta만큼 회전한 임의의 벡터 b'가 있다고 하자.

 

그러면 두 벡터 a', b'의 내적은

 

a dot b = ax * bx + 0 * by일 것이고,

 

결국 ax * bx가 된다.

 

그런데 bx = |b'|cos(theta)이고

 

ax = |a'|이므로

 

결국 a dot b = |a'||b'|cos(theta)이다.