outter(vector, cross) product 증명

첫번째 증명

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지난 번에 3가지 방법으로 a' dot b' = |a'||b'|cos(theta) 임을 증명했는데 비슷한 방법으로

 

|a' cross b'| = |a'||b'|sin(theta) 임을 증명해 보자.

 

먼저 x - y 축에 길이가 a이고 x축과 사이각이 thetaA인 벡터와 길이가 b이고 x축과 사이각이 thetaB인 벡터가 있다고 하자. 여기서 thetaB > thetaA일 때,

 

벡터 a'은 (a*cos(thetaA),a*sin(thetaA),0) 이고

 

벡터 b'은 (b*cos(thetaB),b*sin(thetaB),0) 이다.

 

a' cross b' = (0, 0, a*b*sin(thetaB)*cos(thetaA) - a*b*cos(thetaB)*sin(thetaA)) 이고

 

a*b*sin(thetaB)*cos(thetaA) - a*b*cos(thetaB)*sin(thetaA)) 식은

 

a*b*(sin(thetaB)*cos(thetaA)-cos(thetaB)*sin(thetaA))인데 sin의 뺄셈 법칙에 의해서

 

a*b*sin(thetaB-thetaA)가 되고 여기서 thetaB - thetaA는 두 벡터 사이의 사이각 theta이고

 

결국 a*b*sin(theta)가 된다.

 

그러면 |a' cross b'| = root(0^2 + 0^2 + (a*b*sin(theta))^2) 이므로

 

|a' cross b'| = a*b*sin(theta)가 되고

 

a = |a'|, b = |b'| 이므로 최종적으로 식을 정리하면

 

|a' cross b'| = |a'||b'|sin(theta) 이다. 증명 완료.

두번째 증명

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|a' cross b'| = |a||b|sin(theta) 라는 공식을 좀 더 간단하게 증명해 보자.

 

다시 x-y 평면 위에 두 벡터 a', b'가 있고 a'벡터가 x축 위에 있다고 하면

 

a' = (ax,0,0)이 될 것이고 |a'| = ax가 된다.

 

b' = (bx,by,0)이다.

 

그러면 a' cross b' = (0, 0, ax*by)가 되고

 

a'과 b'의 사이각이 theta라고 하면 by = |b'|sin(theta)가 된다.

 

그러면

 

|a' cross b'| = root((ax*by)^2) = ax*by이고

 

ax = |a'|, by = |b'|sin(theta)였으므로

 

결국 |a' cross b'| = |a'||b'|sin(theta)임을 알 수 있다. 증명 완료.