왜 orthonormal은 M의 전치행렬이 역행렬인가?

간단하게 용어의 의미에서 유추할 수 있는 사실은 - 행우선 행렬이라고 했을 때 -

 

orthonormal 행렬의 각 행은 축을 나타낸다.

 

 | X |

 | Y |

 | Z |

 

각 축의 길이는 normal이라고 했으니 단위길이이고,

 

ortho라고 했으니 각 축들의 내적은 X dot Y = X dot Z = Y dot Z = 0이다.

 

그러면 위의 행렬의 전치행렬은 [X Y Z]가 되고 두 행렬의 곱은

 

 | X |                 | X dot X X dot Y X dot Z |

 | Y | [ X Y Z] = | Y dot X Y dot Y Y dot Z |

 | Z |                 | Z dot X Z dot Y Z dot Z | 일 것이다.

 

X dot X 는 X축의 길이 이므로 1이고 마찬가지로 Y dot Y, Z dot Z도 1일 것이다.

 

또한 위의 성질에서 각 축들의 내적이 0이라고 했기 때문에 위의 결과는 항등행렬이 된다.

 

RR' = I 이므로 R은 R'의 역행렬이고 R'은 R의 역행렬이다.

 

결국 orthonormal 행렬의 전치행렬은 자기 자신의 역행렬이 됨을 알 수 있다.