동차 표현 vs 동차 좌표계

4차원 벡터 (x,y,z,w)에서 w가 1이 아닌 값을 1이 되도록 나누어 주는 이런 표현이 모두 동차 좌표계라고 알고 있는 사람들이 많은데 그것은 잘못된 지식이다.

 

동차 표현에 대해서

펼쳐두기..

일반적으로 벡터는 방향과 크기만을 가진다.

따라서 위치에 대한 정보를 나타낼 수 없다.

하지만 가상의 3D 세계란 위치를 가지고 있는 객체들을 표현할 수 있어야 한다.

그래서 나온 것이 아핀 공간이다.

아핀 공간은 벡터 공간 + 점 공간이라고 생각하면 된다.

이 공간에서는 벡터 공간에서 존재하지 않는 몇 가지 연산자가 추가되는데

1. 벡터 + 점 = 점
2. 점 - 점 = 벡터

이 두 가지 연산이다.

하지만 3차원 공간에서 벡터를 표현하는 방식은 ( x, y, z )이고 마찬가지로 점을 표현하는 방식도 ( x, y, z )이다.

서로 다른 두 엔티티를 구별할 수 있는 방법이 없어서 도입된 것이 바로 동차 표현이다. 점은 ( x, y, z, 1 ), 벡터는 ( x, y, z, 0 ) 이렇게 말이다.

이 형식대로 위의 연산을 해보면 벡터 + 점은 당연히 w가 1이 되므로 점이 되는 것이 자명하고 마찬가지로 점 - 점도 w가 0이 되므로 벡터가 되는 것이 자명하다.

동차 좌표계에 대해서

펼쳐두기..

특정 좌표 프레임에 원근 변환을 적용하면 사영 공간으로 변환된다.

사영 기하 공간은 무한 원점에서 모든 선분들이 교차를 하기 때문에 우리가 사용하는 일반적인 데카르트 좌표계를 사용해서 해석적인 방법으로 좌표를 표현할 수 없다.

이후에 수학자들이 w=1인 초평면이 3차원 공간을 나타낸다는 것을 알아냈고 이제 동차 좌표계를 사용해서 사영 공간에서도 해석적인 좌표를 표현할 수 있게 되었다.